Contoh soal regresi linier sederhana

Question

Rumuskan suatu permasalahan penelitian berikut hipotesisnya untuk uji korelasional  antar 2 variabel (independent variabel dan dependent variabel). Lakukan analisis jika sampel yang diambil secara random dan hasil pengukuran 2 variabel (variabel X dan Y) masing-masing berskala interval. Data terdistribusi sebagai berikut:
X :  36  44    31    27    21    22    33    32    37    29    39    37    27    28    30
Y :  28  38    23    13    10    11    17    25    30    17    33    27    18    15    21 
Berdasarkan data tersebut lakukan analisis, selanjutnya selesaikan beberapa persoalan statistik berikut ini:
a. Tentukan intercept (a) dan koefisien regresinya (b)! Selanjutnya rumuskan persamaan regresinya. Lakukan interpretasi terhadap persamaan tersebut!
b. Gambarkan garis regresinya (regression line) !
c. Berapa besar Y’ jika X sebesar 52 ? Lakukan interpretasi!

rahmayetty · Answer

Diketahui :
Y=rata-rata nilai tes saringan masuk saringan masuk
X=rata-rata SKHU
Dari data diperoleh 
$\sum{X}=55$, $\sum{Y}=60$, 
$\sum{XY}=417$, $\sum{X}^{2}=383$, $\sum{Y}^{2}=456$, $\bar{X}=6\text{,}875$, $\bar{y}=7\text{,}5$ , $n=6$
A. Nilai korelasi (r)
$$\begin{aligned}r&=\frac{n(\sum{XY})-((\sum{X})(\sum{Y}))}{\sqrt{(n(\sum{X}^{2})-(\sum{X})^{2}))(n(\sum{Y}^{2})-(\sum{Y})^{2}))}}\&=0\text{,}83\end{aligned}$$
Interpretasi : nilai korelasi yang diperoleh adalah 83% hal ini bearti terdapat hubungan  yang cukup signifikan antara nilai rata2 SKHU  terhadap rata2 nilai tes saringan masuk
B. Persamaan regresi 
$Y=a+bX$
$$\begin{aligned}b=\frac{n\sum{XY}-\sum{X}\sum{Y}}{n\sum{X}^{2}-(\sum{X})^{2}=0\text{,}923}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}a=\bar{Y}-b\bar{X}=1\text{,}15\end{aligned}$$
Maka persamaan regresi 
$$\begin{aligned}Y &= 1\text{,}15 + 0\text{,}923X\end{aligned}$$
Jadi jika nilai $X= 9$ maka nilai y adalah 9,457
$$\begin{aligned}Y &= 1\text{,}15 + 0\text{,}923(9)&=9\text{,}457\end{aligned}$$

agus · Answer

4. 	Berikut adalah data tentang nilai rata-rata SKHU SMA dengan nilai rata-rata ujian saringan masuk yang  diambil dari 8 orang calon mahasiswa secara acak.   
 
No. Responden 	Rata-rata SKHU 	Rata-rata Nilai Tes  Saringan Masuk 
1 	6 	6 
2 	6 	7 
3 	7 	7 
4 	8 	9 
5 	7 	8 
6 	8 	8 
7 	6 	7 
8 	7 	8 
       Berdasarkan data tersebut di atas : 
a.	Tentukan besarnya  koefisien korelasi antara nilai rata-rata SKHU (X) calon mahasiswa dengan rata-rata nilai tes saringan masuk  (Y) tersebut!   (S 
b.	Hitunglah nilai a dan b untuk persamaan regersi linier sederhana. Kemudian Tentukan persamaan regresinya!        	 	 	 	 	 	  
Berdasarkan persamaan regresi tersebut, hitung berapakah rata-rata nilai tes saringan masuk  yang diharapkan jika nilai rata-rata SKHU adalah 9?

rstats · Answer

Penyelesaian untuk pertanyaan a. mengikuti langkah-langkah pada artikel Regresi Linier Sederhana. Pertama, buat tabel sebagai berikut.

$x$
    $y$
    $x^2$
    $xy$

36
    28
    1296
    1008

44
    38
    1936
    1672

31
    23
    961
    713

27
    13
    729
    351

21
    10
    441
    210

22
    11
    484
    242

33
    17
    1089
    561

32
    25
    1024
    800

37
    30
    1369
    1110

29
    17
    841
    493

39
    33
    1521
    1287

37
    27
    1369
    999

27
    18
    729
    486

28
    15
    784
    420

30
    21
    900
    630

473
    326
    15473
    10982

Dari tabel tersebut dapat diperoleh $$\begin{aligned} n &= 15\ \sum_{i=1}^n x_i &= 473\ \sum_{i=1}^n y_i &= 326\ \sum_{i=1}^n x_i^2 &= 15473\ \sum_{i=1}^n x_iy_i &= 10982 \end{aligned}$$ Selanjutnya hitung $\bar{x},$ $\bar{y},$ $b_1$ dan $b_0.$ $$\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\ &= \frac{1}{15}(473)\ &= 31\text{,}5333\ \ \bar{y} & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i\ &= \frac{1}{15}(326)\ &= 21\text{,}7333\ \ b_1 &= \frac{\displaystyle n\sum_{i=1}^n x_iy_i-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i\right)}{\displaystyle n\sum_{i=1}^n x_i^2-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2}\ &= \frac{(15)(10982)-(473)(326)}{(15)(15473)-(473)^2}\ &= 1\text{,}2589\ \ b_0 &= \bar{y}-b_1\bar{x}\ &= (21\text{,}7333)-(1\text{,}2589)(31\text{,}5333)\ &= -17\text{,}9641 \end{aligned}$$ Dengan demikian persamaan regresi yang terbentuk adalah $$\hat{y}_i = -17\text{,}9641 + 1\text{,}2589 x_i$$