Soal pendekatan kurva normal untuk distribusi binomial

Question

Sebuah mesin pencetak menghasilkan barang cetakan yang rusak sebanyak 10%. Dari sampel sebanyak 400 barang cetakan dari proses produksi yang sedang berjalan, tentukan probabilitas:
a) jika rusak 50 barang ,
B) jika rusak antara 30 dan 50 barang,
c) yang rusak paling banyak 30,
d) 55 atau lebih akan rusak.

rstats · Answer

Dari soal tersebut diketahui $p = 0\text{,}1$ dan $n = 400.$ Keempat pertanyaan di atas seharusnya diselesaikan dengan menggunakan rumus Distribusi Binomial. Namun karena proses penghitungannya sangat sulit, maka penyelesaiannya dapat dilakukan menggunakan Distribusi Normal.

$P(X = 50)$?
Pertanyaan ini tidak bisa diselesaikan dengan Distribusi Normal karena Distribusi Normal merupakan distribusi kontinu dimana pada distribusi kontinu nilai $P(X = x)$ sama dengan 0. Penyelesaian dengan Distribusi Binomial adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} P(X = x) &= \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\ P(X = 50) &= \binom{400}{50} {(0\text{,}1)}^{50} {(1 - 0\text{,}1)}^{400 - 50}\ &= 0\text{,}0165 \end{aligned}$$ Penghitungan di atas haruslah menggunakan kalkulator atau komputer.

$P(30 < X < 50)$?
Pertanyaan ini sebaiknya diselesaikan dengan Distribusi Normal. Nilai $\mu$ didekati dengan $np$ dan nilai $\sigma$ didekati dengan $\sqrt{np(1-p)}.$ $$\begin{aligned} \mu &= np\ &= (400)(0\text{,}1)\ &= 40\ \sigma &= \sqrt{np(1-p)}\ &= \sqrt{(400)(0\text{,}1)(1 - 0\text{,}1)}\ &= \sqrt{36}\ &= 6 \end{aligned}$$ Selanjutnya hitung peluangnya $$\begin{aligned} P(x_1 < X < x_2) &= P(X < x_2) - P(X < x_1)\ &= P\left(Z < \frac{x_2 - \mu}{\sigma}\right) - P\left(Z < \frac{x_1 - \mu}{\sigma}\right)\ &= P\left(Z < \frac{50 - 40}{6}\right) - P\left(Z < \frac{30 - 40}{6}\right)\ &= P(Z < 1\text{,}6667) - P(Z < -1\text{,}6667)\ &= 0\text{,}9522 - 0\text{,}0478\ &= 0\text{,}9044 \end{aligned}$$

$P(X \leq 30)$?
$$\begin{aligned} P(X \leq x) &= P\left(Z \leq \frac{x - \mu}{\sigma}\right)\ &= P\left(Z \leq \frac{30 - 40}{6}\right)\ &= P(Z \leq -1\text{,}6667)\ &= 0\text{,}0478 \end{aligned}$$

$P(X \geq 55)$?
$$\begin{aligned} P(X \geq x) &= 1 - P(X < x)\ &= 1 - P\left(Z < \frac{x - \mu}{\sigma}\right)\ P(X \geq 55) &= 1 - P\left(Z < \frac{55 - 40}{6}\right)\ &= 1 - P(Z < 2\text{,}5)\ &= 1 - 0\text{,}9938\ &= 0\text{,}0062 \end{aligned}$$