Soal pendekatan kurva normal untuk distribusi binomial

  • Pencipta
    Topik
  • #5171
    Deliana

    Sebuah mesin pencetak menghasilkan barang cetakan yang rusak sebanyak 10%. Dari sampel sebanyak 400 barang cetakan dari proses produksi yang sedang berjalan, tentukan probabilitas:
    a) jika rusak 50 barang ,
    B) jika rusak antara 30 dan 50 barang,
    c) yang rusak paling banyak 30,
    d) 55 atau lebih akan rusak.

Melihat 1 balasan (dari total 1)
  • Penulis
    Balasan
  • #5691
    R-Stats
    Peserta

    Dari soal tersebut diketahui \(p = 0\text{,}1\) dan \(n = 400.\) Keempat pertanyaan di atas seharusnya diselesaikan dengan menggunakan rumus Distribusi Binomial. Namun karena proses penghitungannya sangat sulit, maka penyelesaiannya dapat dilakukan menggunakan Distribusi Normal.

    1. \(P(X = 50)\)?
    2. Pertanyaan ini tidak bisa diselesaikan dengan Distribusi Normal karena Distribusi Normal merupakan distribusi kontinu dimana pada distribusi kontinu nilai \(P(X = x)\) sama dengan 0. Penyelesaian dengan Distribusi Binomial adalah sebagai berikut. \[\begin{aligned} P(X = x) &= \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x}\\ P(X = 50) &= \binom{400}{50} {(0\text{,}1)}^{50} {(1 – 0\text{,}1)}^{400 – 50}\\ &= 0\text{,}0165 \end{aligned}\] Penghitungan di atas haruslah menggunakan kalkulator atau komputer.

    3. \(P(30 < X < 50)\)?
    4. Pertanyaan ini sebaiknya diselesaikan dengan Distribusi Normal. Nilai \(\mu\) didekati dengan \(np\) dan nilai \(\sigma\) didekati dengan \(\sqrt{np(1-p)}.\) \[\begin{aligned} \mu &= np\\ &= (400)(0\text{,}1)\\ &= 40\\ \sigma &= \sqrt{np(1-p)}\\ &= \sqrt{(400)(0\text{,}1)(1 – 0\text{,}1)}\\ &= \sqrt{36}\\ &= 6 \end{aligned}\] Selanjutnya hitung peluangnya \[\begin{aligned} P(x_1 < X < x_2) &= P(X < x_2) - P(X < x_1)\\ &= P\left(Z < \frac{x_2 - \mu}{\sigma}\right) - P\left(Z < \frac{x_1 - \mu}{\sigma}\right)\\ &= P\left(Z < \frac{50 - 40}{6}\right) - P\left(Z < \frac{30 - 40}{6}\right)\\ &= P(Z < 1\text{,}6667) - P(Z < -1\text{,}6667)\\ &= 0\text{,}9522 - 0\text{,}0478\\ &= 0\text{,}9044 \end{aligned}\]

    5. \(P(X \leq 30)\)?
    6. \[\begin{aligned} P(X \leq x) &= P\left(Z \leq \frac{x – \mu}{\sigma}\right)\\ &= P\left(Z \leq \frac{30 – 40}{6}\right)\\ &= P(Z \leq -1\text{,}6667)\\ &= 0\text{,}0478 \end{aligned}\]

    7. \(P(X \geq 55)\)?
    8. \[\begin{aligned} P(X \geq x) &= 1 – P(X < x)\\ &= 1 - P\left(Z < \frac{x - \mu}{\sigma}\right)\\ P(X \geq 55) &= 1 - P\left(Z < \frac{55 - 40}{6}\right)\\ &= 1 - P(Z < 2\text{,}5)\\ &= 1 - 0\text{,}9938\\ &= 0\text{,}0062 \end{aligned}\]

Melihat 1 balasan (dari total 1)
  • Anda harus log masuk untuk menambahkan jawaban.