Soal peluang distribusi normal dan penyelesaian

Forum Forum Statistika Soal peluang distribusi normal dan penyelesaian

Melihat 22 tulisan - 1 sampai 22 (dari total 22)
  • Penulis
    Tulisan-tulisan
  • #478 Reply
    yolanda pristi salale
    Tamu

    Dari data disebuah game online diketahui bahwa lamanya waktu yang dihabiskan pengunjung untuk bermain ditempat itu berdistribusi normal dengan simpangan baku 37 menit. Diketahui juga bahwa terdapat 14% member yang menghabiskan waktu diklub lebih dari 230 menit. Tentukan mean!

    #485 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Diketahui \(\sigma=37\) dan \(P(X > 230\ = 14\%.\) Artinya \[P(X > 230) = P(Z > z ) = 14\%\] Dengan melihat \(P(Z >z ) = 14\%\) dari tabel Z peroleh \(z=1\text{,}08.\) Selanjutnya mean \((\mu)\) dapat dihitung dengan rumus \[\begin{aligned} z &= \frac{x – \mu}{\sigma}\\ 1\text{,}08 &= \frac{230 – \mu}{37} \end{aligned}\] Selanjutnya \(\mu\) dipindahruaskan menjadi
    \[\begin{aligned} \mu &= 230 – (1\text{,}08 \times 37)\\ &= 230 – 39\text{,}96\\ &= 190\text{,}04 \end{aligned}\]

    #337 Reply
    Yeni riyanti
    Tamu

    Berdasarkan data kependudukan usia harapan hidup penduduk di suatu wilayah berdistribusi normal dengan rata-rata 44,8 dengan simpangan baku 11,3 jika jumlah penduduk mencapai 110 orang tentukan jumlah penduduk yang mempunyai harapan hidup.

    A. Usia diatas 60
    B. Usia diatas 40
    C. Antara 45 dan 65
    D. Antara 55 dan 60

    #343 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Diketahui \(\mu=44\text{,}8,\) \(\sigma=11\text{,}3\) dan \(n=110.\) Untuk menyelesaikannya gunakan rumus peluang distribusi normal.

    1. Untuk soal rincian (a), hitung terlebih dahulu peluang penduduk yang hidup di atas 60 tahun. \[ \begin{aligned} P(X>x) &= P(Z > z)\\ &= 1 – P(Z < z)\\ &= 1 – P\left(Z < \frac{x-\mu}{\sigma}\right)\\ P(X>60) &= 1 – P\left(Z<\frac{60-44\text{,}8}{11\text{,}8}\right)\\ &= 1 – P(Z < 1\text{,}3541) \end{aligned} \] Untuk mendapatkan peluang \(P(Z < 1\text{,}3541)\) gunakan Tabel Z Distribusi Normal atau hitung menggunakan Excel. \[P(Z < 1\text{,}3541) = 0\text{,}9107\] sehingga \[ \begin{aligned} P(X>60) &= 1 – P(Z < 1\text{,}3541)\\ &= 1 – 0\text{,}9107\\ &= 0\text{,}0893 \end{aligned} \] Jumlah penduduk yang mempunyai harapan hidup di atas 60 tahun adalah \[ \begin{aligned} n_{>60} &= n \times P(X>60)\\ &= 110 \times 0\text{,}0893\\ &= 9\text{,}8220 \approx 10 \end{aligned} \]
    2. Cara (b) sama dengan cara (a), yaitu \[ \begin{aligned} P(X>40) &= 1 – P\left(Z<\frac{40-44\text{,}8}{11\text{,}8}\right)\\ &= 1 – P(Z < -0\text{,}4248)\\ &= 1 – 0\text{,}3355\\ &= 0\text{,}6645 \end{aligned} \] Jumlah penduduk yang mempunyai harapan hidup di atas 40 tahun adalah \[ \begin{aligned} n_{>40} &= n \times P(X>40)\\ &= 110 \times 0\text{,}6645\\ &= 73\text{,}0951 \approx 73 \end{aligned} \]
    3. Cara (c) mirip dengan cara (a) dan (b), yaitu \[ \begin{aligned} P(45 < X < 65) &= P(X < 65) – P(X < 45)\\ &= 0\text{,}9631 – 0\text{,}5071\\ &= 0\text{,}4560 \end{aligned} \] Jumlah penduduk yang mempunyai harapan hidup 45-65 tahun adalah \[ \begin{aligned} n_{45 <X<65} &= n \times P(45 <X<65)\\ &= 110 \times 0\text{,}4560\\ &= 50\text{,}1622 \approx 50 \end{aligned} \]
    4. Cara (d) sama dengan cara (c), yaitu \[ \begin{aligned} P(55 < X < 60) &= P(X < 60) – P(X < 55)\\ &= 0\text{,}9107 – 0\text{,}8166\\ &= 0\text{,}0941 \end{aligned} \] Jumlah penduduk yang mempunyai harapan hidup 55-65 tahun adalah \[ \begin{aligned} n_{55 <X< 60} &= n \times P(55 <X<60)\\ &= 110 \times 0\text{,}0941\\ &= 10\text{,}3470 \approx 10 \end{aligned} \]
    #598 Reply
    Nia
    Tamu

    Sebuah supplier minyak tanah yang menguasai suatu daerah dari bulan Desember sampai Februari dapat memasarkan minyak rata rata 8.000 liter perhari dengan simpangan baku 1.000 liter perhari. Jika suatu hari supplier dapat menawarkan 9.250 liter per hari, berapa probabilitas bahwa permintaan suatu hari dapat melampaui jumlah yang dapat ditawarkan?

    #600 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Diketahui \(\mu = 8\) dan \(\sigma = 1.\) Permintaan pertanyaannya adalah \(P(X > 9\text{,}25).\) Penyelesaiannya: gunakan rumus peluang \[\begin{aligned} P(X > x) &= P\left(Z > \frac{x-\mu}{\sigma}\right)\\ P(X > x) &= 1 – P\left(Z < \frac{x-\mu}{\sigma}\right)\\ P(X > 9\text{,}25) &= 1 – P\left(Z < \frac{9\text{,}25 – 8}{1}\right)\\ &= 1 – P(Z < 1\text{,}25) \end{aligned}\] Dari tabel Z dapat diketahui bahwa \(P(Z < 1\text{,}25)\) sama dengan \(0\text{,}8944.\) Sehingga \[\begin{aligned} P(X > 9\text{,}25) &= 1 – P(Z < 1\text{,}25)\\ &= 1 – 0\text{,}8944\\ &= 0\text{,}1056 \end{aligned}\]

    #876 Reply
    Stevanus aldo cahyojati
    Tamu

    Diberikan suatu data yang distribusi normal dengan rata-rata 60, simpangan baku 10. Hitung dan gambarkan luas daerah yang dibatasi antara X = 40 dan X = 70.

    #937 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Dari soal tersebut diketahui \(\mu\) = 60 dan \(\sigma\) = 10. Luas kurva normal antara \(40<X<70\) adalah \[\begin{aligned} P(40 < X < 70)& =P(X < 70)-P(X < 40)\\ &=P\left(\frac{70-\mu}{\sigma}\right)-P\left(\frac{40-\mu}{\sigma}\right) \end{aligned}\] Untuk penyelesaiannya gunakan Tabel Z Distribusi Normal.

    Sebagai referensi silakan baca Menghitung Luas Area dengan Menggunakan Tabel Z Distribusi Normal Baku.

    #1044 Reply
    Laras
    Tamu

    Mohon bantuanya dong para mastah… ^_^

    1. Tinggi badan mahasiswa di uji dengan uji rata-rata, tingkat signifikasi 0,05 berdasarkan pengalaman simpangan baku = 8.4
    H0: M ≤ 155 cm
    H1: M ≥ 155 cm

    2. Upah bulanan karyawan perusahaan asing mengikuti distribusi normal dengan rata-rata M= Rp. 15.000.000 dan simpangan baku= Rp. 3.500.000. Jika peristiwa ini dianggap sebagai peristiwa acak, berapa peluanga bahwa upahnya lebih besar dari Rp.16.260.000?

    #1047 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Soal no. 1 sepertinya kurang lengkap. Untuk soal no. 2 bisa dihitung dengan \[ P(Z>z) = P\left(Z>\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \] dimana dari soal sudah diketahui bahwa \(\mu=\)15.000.000, \(\sigma=\) 3.500.000 dan \(x=\) 16.260.000.

    Gunakan tabel Z distribusi normal untuk menentukan nilai peluangnya.

    #1175 Reply
    I KADEK SUNARTE
    Tamu

    Suatu kapal penangkap ikan yang diperdagangkan oleh perusahaan Jepang rata-rata umur pemakaiannya 10 tahun dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila umur kapal tersebut menyebar normal, hitunglah peluang bahwa sebuah kapal yang dibeli seorang pengusaha ikan akan mencapai umur kurang dari 9 tahun.

    #1176 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Dari soal tersebut diketahui bahwa \(\mu=10\) dan \(\sigma=5.\) Yang ingin ditanyakan adalah \(\text{P}(X<9).\)

    Untuk memahami cara penyelesaikannya, silakan baca materi statistika distribusi normal standar beserta standarisasi data dan luas area di bawah kurva normal.

    Penyelesaian selanjutnya adalah \[\text{P}\left(Z<\frac{X-\mu}{\sigma}\right)\] Jangan lupa juga menggunakan tabel Z distribusi normal sebagai alat bantu penyelesaiannya.

    #4566 Reply
    Lana Vanita
    Tamu

    Diketahui rata-rata dan variansi populasi suatu peubah yang berdistribusi normal adalah 40 dan 16. Jika dari populasi tersebut diambil sampelnya sebanyak 300 orang, tentukan:

    a. Berapa banyak skor yang berada di atas skor 50?
    b. Berapa banyak skor yang berada di antara 30-45?
    c. Berapa banyak skor yang berada di bawah 45?
    d. Gambarkan kurva distribusi normalnya.

    #4569 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Diketahui \(\mu = 40,\) \(\sigma^2 = 16\) atau \(\sigma = 4\) dan \(n = 300.\) Penyelesaian dari rincian soal di atas adalah

    1. \[\begin{aligned} P(X > x) &= P(Z > z)\\ &= P \left(Z > \frac{x – \mu}{\sigma} \right)\\ P(X > 50) &= P \left(Z > \frac{50 – 40}{4} \right)\\ &= P(Z > 2\text{,}5) \end{aligned}\] Gunakan tabel distribusi normal baku untuk penyelesainnya. Hasil dari \(P(Z > 2\text{,}5)\) adalah \(0\text{,}0062.\) Dengan demikian banyaknya skor yang berada di atas skor 50 adalah \[\begin{aligned}n \times P(X > 50) &= 300 \times 0\text{,}0062\\ &= 1\text{,}86\\ &\approx 2 \end{aligned}\]
    2. \[\begin{aligned} P(30 < X < 45) &= P(X < 45) – P(X < 30)\\ &= P \left(Z < \frac{45 – 40}{4} \right) – P \left(Z < \frac{30 – 40}{4} \right)\\ &= P(X < 1\text{,}25) – P(X < -2\text{,}5)\\ &= 0\text{,}8944 – 0\text{,}00622\\ &= 0\text{,}8882 \end{aligned} \] Banyaknya skor yang berada di antara skor 30 dan 45 adalah \[\begin{aligned}n \times P(30 < X < 45) &= 300 \times 0\text{,}8882\\ &= 266\text{,}46\\ &\approx 266 \end{aligned}\]
    3. \[\begin{aligned} P(X < 30) &= P \left(Z < \frac{30 – 40}{4} \right)\\ &= P(Z < -2\text{,}5)\\ &= 0\text{,}0062 \end{aligned}\] Banyaknya skor yang berada di atas skor 50 adalah \[ \begin{aligned}n \times P(X < 30) &= 300 \times 0\text{,}0062\\ &= 1\text{,}86\\ &\approx 2 \end{aligned}\]
    4. Kurva distribusi normal dapat digambarkan dengan program minitab, coaba baca artikelnya di Cara Membuat Kurva Distribusi Normal dengan Minitab. Selain itu kita juga bisa menggambaranya dengan program R. Pertama, generate dulu datanya
      n <- 300
      mu <- 40
      var <- 16
      std <- sqrt(var)
      x <- rnorm(n, mu, std)

      Selanjutnya kita bisa melihat histogramnya dengan kode berikut.

      hist(x, xlab="Variabel X", ylab="Frekuensi", 
           main="Histogram X")

      Overlay histogram dan kurva normal dengan kode berikut.

      hist(x, prob=TRUE, xlab="Variabel X", 
           ylab="Kepadatan", ylim=c(0, 0.15), 
           main="Overlay Histogram dan 
           Kurva Distribusi Normal")
      curve(dnorm(x, mean=mu, sd=std), 
           col="darkblue", lwd=1, add=TRUE)
    #4576 Reply
    Masruroh
    Tamu

    Seorang Pimpinan Universitas Terbuka mengambil kebijakan untuk memberikan diskon terhadap harga buku materi pokok (BMP). Harga rata-rata BMP sebesar Rp.54 ribu. Setelah kebijakan diberlakukan selanjutnya diambil sampel secara acak terhadap 16 jenis BMP dan ternyata harga rata-ratanya mencapai Rp.30 ribu dengan standar deviasi Rp. 4 ribu. Apakah penurunan harga tersebut berbeda nyata dengan harga sebelumnya pada taraf signifikansi 5% sehingga cukup berarti bagi mahasiswa UT?

    #4578 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Diketahui \(\mu_o = 54,\) \(n = 16,\) \(\bar x = 30,\) \(s = 4\) dan \(\alpha = 0\text{,}05.\)

    Hipotesis:
    Ho : \(\mu_o = 54,\)
    H1 : \(\mu_o < 54,\)

    Statistik uji:
    \[\begin{aligned} t_h &= \frac{\bar x – \mu}{s/\sqrt{n}}\\ &= \frac{30 – 54}{4/\sqrt{16}}\\ &= -24 \end{aligned}\]

    Titik kritis:
    \(t_{(\alpha,n-1)} = t_{(0\text{,}05;15)} = 1\text{,}7531\)

    Keputusan:
    \(t_h < -t_{(\alpha,n-1)},\) jadi tolak Ho.

    #4630 Reply
    jovan
    Tamu

    Volume botol minuman ringan menyebar normal dengan rata-rata 2.1 liter dan standar deviasi 0.05 liter. Jika dipilih secara acak 25 botol. Berapa peluang rata-rata sampelnya :
    a. antara 1.99 dan 2.0 liter?
    b. kurang dari 1.98 liter?
    c. lebih dari 2.01 liter?
    d. paling sedikit berapa rata-rata sampel agar peluangnya 99%?

    #4632 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Coba dicek lagi apakah soal tersebut sudah benar. Jika benar, maka jawaban rincian a. sama dengan 0,0000, rincian b sama dengan 0,0000 dan rincian c adalah 1,0000. Coba lihat jawaban rincian a berikut ini. \[ \begin{aligned} P(1\text{,}99 < \bar{X} < 2\text{,}0) &= P(X < 2\text{,}0) – P(X < 1\text{,}99)\\ &= P\left(Z < \frac{2\text{,}0 – 2\text{,}1}{0\text{,}05/\sqrt{25}}\right) – P\left(Z < \frac{1\text{,}99 – 2\text{,}1}{0\text{,}05/\sqrt{25}}\right)\\ &= P(Z < -10) – P(Z < -20)\\ &= 0\text{,}000 – 0\text{,}000\\ &= 0 \end{aligned} \] Saya sangat meragukan kebenaran soal ini.

    #4635 Reply
    jovan
    Tamu

    itu bukannya harusnya 2,1-2,0 dan 1,99-2,1 ya
    itu kenapa 2,0 ya saya bingung

    #4636 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Iya maaf, salah tulis. Sudah saya perbaiki. Terimakasih atas koreksinya.

    #5064 Reply
    Maliky
    Tamu

    Jumlah air dalam suatu bendungan berdistribusi normal dengan mean 2 juta meter kubik dan variansi 4 juta meter kubik. Kapasitas bendungan adalah 3 juta meter kubik. Berapa peluang bendungan meluap?

    #5067 Reply
    R-Stats
    Keymaster

    Diketahui \(\mu = 2\) dan \(\sigma^2 = 4\) atau \(\sigma = 2.\) Bendungan akan meluap jika melebihi kapasitasnya yaitu jika \(x > 3.\) Dengan demikian peluang bendungan meluap adalah \[\begin{aligned} P(X > x) &= 1 – P(X < x)\\ P(X > x) &= 1 – P\left(Z < \frac{x – \mu}{\sigma}\right)\\ P(X > 3) &= 1 – P\left(Z <\frac{3 – 2}{2}\right)\\ &= 1 – P(Z < 0\text{,}5) \end{aligned}\] Dengan menggunakan Tabel Z diperoleh \(P(Z < 0\text{,}5) = 0\text{,}691.\) sehingga \[\begin{aligned} P(X > 3) &= 1 – 0\text{,}691\\ &= 0\text{,}309 \end{aligned}\]

Melihat 22 tulisan - 1 sampai 22 (dari total 22)
Jawabanmu: