Soal Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

  • Pencipta
    Topik
  • #426
    Elis Risnawati

    Peluang seorang lelaki yang telah kawin menonton suatu film seri di TV adalah 0,4 dan peluang seorang wanita yang telah kawin menonton film yang sama adalah 0,5. Peluang seorang lelaki menonton film tersebut bila istrinya menonton adalah 0,7. Dengan Teorema Bayes, hitunglah

    1. peluang sepasang suami istri menonton film tersebut,
    2. peluang seorang istri menonton film tersebut bila suaminya menonton film
    3. peluang paling sedikit seorang dari sepasang suami istri menonton film tersebut.
Melihat 5 balasan - 1 sampai 5 (dari total 5)
  • Penulis
    Balasan
  • #429
    R-Stats
    Peserta

    Diketahui \(P(A)=0\text{,}4,\) \(P(B)=0\text{,}5\) dan \(P(A/B)=0\text{,}7.\) Penyelesaian untuk rincian soal di atas adalah

    1. peluang sepasang suami istri menonton film atau \(P(A\cap B),\) \[\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(B) \times P(A/B)\\ &= 0\text{,}5 \times 0\text{,}7\\ &= 0\text{,}35 \end{aligned}\]
    2. peluang seorang istri menonton film tersebut bila suaminya menonton film atau \(P(B/A),\) \[\begin{aligned} P(B/A) &= \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\ &= \frac{0\text{,}35}{0\text{,}4}\\ &= 0\text{,}875 \end{aligned}\]
    3. peluang paling sedikit seorang dari sepasang suami istri menonton film atau \(P(A\cup B),\) \[\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) – P(A \cap B)\\ &= 0\text{,}4 + 0\text{,}5 – 0\text{,}35\\ &= 0\text{,}55. \end{aligned}\]
    #1233
    Hasan Khoiri

    Tiga kotak masing-masing memiliki 2 laci. Di dalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Didalam kotak I terdapat bola emas, kotak II terdapat bola perak, dan kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?

    #1240
    R-Stats
    Peserta

    Dari persoalan di atas dimisalkan

    • \(A_1\) adalah kejadian terambilnya kotak I,
    • \(A_2\) adalah kejadian terambilnya kotak II,
    • \(A_3\) adalah kejadian terambilnya kotak III.

    Jika \(X\) adalah kejadian terpilih laci berisi bola emas, maka

    • \(P(A_1) = \displaystyle \frac{1}{3}\) dan \(P(X/A_1) = 1\)
    • \(P(A_2) = \displaystyle \frac{1}{3}\) dan \(P(X/A_2) = 0\)
    • \(P(A_3) = \displaystyle \frac{1}{3}\) dan \(P(X/A_3) = \frac{1}{2}\)

    Persoalannya adalah telah diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, dan diminta peluang laci lain berisi bola perak. Artinya peluang yang dimaksud adalah peluang untuk kotak III yang isinya adalah bola emas dan bola perak. Dengan teorema bayes dapat diperoleh \(P(A_3/X)\) adalah \[\begin{aligned} P(A_3/X) &= \frac{P(A_3).P(X/A_3)}{P(A_1).P(X/A_1) + P(A_2).P(X/A_2) + P(A_3).P(X/A_3)}\\ P(A_3/X) &= \frac{\displaystyle \left(\frac{1}{3}. \frac{1}{2} \right)} {\displaystyle \left(\frac{1}{3}. 1 \right) + \left(\frac{1}{3}. 0 \right) + \left(\frac{1}{3}. \frac{1}{2} \right)}\\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}\]

    #1692
    tuti alawiah

    Kotak A berisi 10 bola merah dan 15 bola hijau. Kotak B berisi 12 bola merah dan 17 bola hijau. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil dua bola secara acak. Tentukan:

    1. peluang bahwa yang diambil 2 bola berwarna hijau,
    2. peluang bahwa yang diambil 1 bola merah dan 1 bola hijau.
    #4594
    R-Stats
    Peserta

    Diketahui kotak A berisi bola Merah \(n_A(M) = 10,\) dan bola Hijau \(n_A(H) = 15,\) sehingga jumlah seluruh bola di kotak A adalah \[\begin{aligned} n_A(S) &= n_A(M) + n_A(H)\\ &= 10 + 15\\ &= 25. \end{aligned}\] Jika diambil satu bola dari kotak A maka peluang terpilihnya bola Merah dan peluang terpilihnya bola Hijau adalah \[\begin{aligned} P(M) &= \frac{n_A(M)}{n_A(S)} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}\\ P(H) &= \frac{n_A(H)}{n_A(S)} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \end{aligned}\] Selanjutnya yang diketahui dari kotak B adalah \(n_B(M) = 12\) dan \(n_B(H) = 17.\) Jika 1 bola dimasukkan dari kotak A ke kotak B, maka banyaknya bola yang ada di kotak B menjadi \[\begin{aligned} n_B(S) &= n_B(M) + n_B(H) +1\\ &= 12 + 17 +1 \\ &= 30. \end{aligned}\] Permasalahannya adalah kita tidak tahu bola warna apa yang akan dimasukkan dari kotak A ke kotak B. Namun kemungkinannya ada 2, yaitu bola warna Merah dan bola warna Hijau, dimana peluang untuk bola warna Merah adalah \(\displaystyle \frac{2}{5}\) dan peluang untuk bola warna Hijau adalah \(\displaystyle \frac{3}{5}.\) Dengan demikian jika diambil 2 bola dari kotak B yang telah dimasukkan 1 bola dari kotak A, dan \(X\) adalah kejadian terambilnya bola Merah, maka :

    1. Peluang terambil 2 bola warna Hijau atau \(P(X = 0)\) adalah \[\begin{aligned} P(X = 0) &= \frac{2}{5} \left(\frac{{{^{12+1}C_0}} \times {^{17}C_2}}{{^{30}C_2}} \right) + \frac{3}{5} \left(\frac{{^{12}C_0} \times {^{17+1}C_2}}{{^{30}C_2}} \right)\\ &= \frac{2}{5} \left( \frac{1 \times 136}{435} \right) + \frac{3}{5} \left( \frac{1 \times 153}{435} \right)\\ &= 0\text{,}1251 + 0\text{,}2110\\ &= 0\text{,}3361 \end{aligned}\]
    2. Peluang terambil 1 bola warna Merah dan 1 bola warna Hijau atau \(P(X = 1)\) adalah \[\begin{aligned} P(X = 1) &= \frac{2}{5} \left(\frac{{{^{12+1}C_1}} \times {^{17}C_1}}{{^{30}C_2}} \right) + \frac{3}{5} \left(\frac{{^{12}C_1} \times {^{17+1}C_1}}{{^{30}C_2}} \right)\\ &= \frac{2}{5} \left( \frac{13 \times 17}{435} \right) + \frac{3}{5} \left( \frac{12 \times 18}{435} \right)\\ &= 0\text{,}2032 + 0\text{,}2979\\ &= 0\text{,}5011 \end{aligned}\]
Melihat 5 balasan - 1 sampai 5 (dari total 5)
  • Anda harus log masuk untuk menambahkan jawaban.