Soal peluang distribusi bernoulli dan penyelesaian

Distribusi bernoulli adalah distribusi peluang diskret yang paling sederhana. Contohnya misalnya dari 100 orang pelamar kerja akan diterima 30 orang pelamar. Misalkan Andi adalah salah seorang pelamar kerja tersebut, berapakah peluang Andi diterima?

Jawab:

Diketahui \(p=\frac{30}{100}=\frac{3}{10},\) maka \[\begin{aligned}P(X=x)&=p^x(1-p)^{1-x}\\P(X=1)&=\left(\frac{3}{10}\right)^1\left(1-\frac{3}{10}\right)^{1-1}\\&=\frac{3}{10}\end{aligned}\]

Diketahui \(p=0\text{,}3,\) sehingga bisa dibuatkan rumus distribusi bernoullinya yaitu \[ P(X=x) = 0\text{,}3^x 0\text{,}7^{1-x}\] dimana \(x=1\) (menang) dan \(x=0\) (kalah).

Peluang pengacara menang adalah \[\begin{aligned} P(X=1) &= 0\text{,}3^1 0\text{,}7^{1-1}\\ &= 0\text{,}3 \end{aligned}\] a. Harapan pengacara akan memperoleh adalah \(0\text{,}3 \times 30000 = \$9000.\)

b. Harapan perolehan bersih pengacara adalah \(\$9000 – \$5000 = \$4000.\)

Syarat fungsi peluang untuk peubah acak diskret adalah \[\sum_x p(x) = 1\] sehingga \[\begin{aligned} \sum_x p(x) &= 1\\ p(0) + p(1) &= 1\\ p^0 {(1-p)}^{t-0} + p^1 {(1-p)}^{t-1} &= 1\\ {(1-p)}^t + p {(1-p)}^{t-1} &= 1\\ {(1-p)}^t + \left(\frac{p {(1-p)}^t}{1-p}\right) &= 1\\ {(1-p)}^t \left(1 + \frac{p}{1-p}\right) &= 1\\ {(1-p)}^t \left(\frac{1}{1-p}\right) &= 1\\ {(1-p)}^t &= (1-p)\\ \end{aligned}\] Dari persamaan terakhir dapat diperoleh \(t = 1.\) Dengan demikian rumus fungsi peluang akan menjadi fungsi peluang distribusi bernoulli, yaitu \[p(x) = p^x {(1-p)}^{1-x}\] dimana \(x = 1,2.\)